Thèse Année : 2024

Parameterized complexity and new efficient enumerative schemes for RCPSP

Complexité paramétrée et nouveaux schémas énumératifs efficaces pour le RCPSP

Maher Mallem

Résumé

Most scheduling problems are strongly NP-hard and have required intricate heuristics to be solved in practice. While yielding results short term, such heuristics rarely help to identify what fundamentally makes these problems difficult. Such analysis would uncover the similarities between seemingly different problems and facilitate strategy transfers. This would also prove useful whenever one would like to enrich a problem - for example by adding precedence relations or going from equal-length tasks to tasks of arbitrary time length. One way to gather such knowledge is to go beyond classical complexity theory and consider parameterized complexity theory. Given a problem P we choose parameter k as some property of the input like the number of machines or the width of the precedence graph (if there is one). Depending on problem P and parameter k either we design algorithms which are fixed-parameter tractable with respect to k (i.e. which operate in time f(k)*poly(n) with f an arbitrary computable function), or we show that P remains hard even when k is small (typically via a reduction from a well-known difficult parameterized problem in the same manner as an NP-hardness proof). Then the set of parameters for which problem P is fixed-parameter tractable can be interpreted as a footprint. By comparing it to the set of working parameters from another NP-hard problem P', one could infer whether P is 'equivalent' to P', 'strictly harder' than P', or if both problems are difficult for different reasons. In this thesis we study the parameterized complexity of the Resource-Constrained Project Scheduling Problem (RCPSP) and its subproblems, possibly enhanced with job time windows and precedence delays. With precedence delays we consider parameter lmax - i.e. the maximum delay value appearing in the input - in the case of minimum delays, exact delays and the lesser studied maximum delays. For all delay types we show that scheduling unit-time jobs on a single machine with a single available delay value is hard even with small lmax. This suggests that another property of the problem has to be bounded in order to deal with precedence delays. This motivates the integration of job time windows to problems featuring precedence delays in order to broaden available parameter choices. We consider two parameters which have shown recent success in the literature. Namely slack - i.e. the maximum difference between the time window length of a job and its processing time - and pathwidth - i.e. the maximum number of job time windows which can include the same time unit. We also introduce a new parameter, the proper level, which is defined as the maximum number of job time windows which can strictly include on both ends another job time window. We obtain several fixed-parameter tractable algorithms and set multiple hardness results with to respect to these parameters, both with or without precedence delays. We also consider various other scheduling parameters in order to give a more complete view of the parameterized landscape of RCPSP and its subproblems.
La plupart des problèmes d'ordonnancement sont fortement NP-difficiles et nécessitent des heuristiques élaborées pour être résolus en pratique. Bien que fournissant des résultats au court terme, ces approches expliquent rarement ce qui rend ces problèmes fondamentalement difficiles. Avoir cet éclairage pourrait mettre à jour des similitudes entre des problèmes apparemment distincts et faciliter les transferts de stratégie. Cela serait également utile dès lors que l'on souhaite enrichir un problème - par exemple en y ajoutant des relations de précédence, ou en passant de tâches de même durée à des tâches de durées arbitraires. Pour acquérir une telle expertise, il est possible d'aller au-delà de la théorie classique de la complexité, et de se tourner vers la complexité paramétrée. Etant donné un problème P on choisit un paramètre k reflétant une propriété de l'instance en entrée, comme son nombre de machines ou, s'il y a des relations de précédence, la largeur du graphe sous-jacent. En fonction du problème P et du paramètre k, soit on développe des algorithmes dits "fixed-parameter tractable" (i.e. qui opèrent en temps f(k)*poly(n) avec f une fonction arbitraire), soit on montre que le problème reste difficile lorsque le paramètre est petit (typiquement via une réduction depuis un problème paramétré reconnu comme difficile, à la manière d'une preuve de NP-difficulté).%L'ensemble des paramètres pour lesquels le problème P est "fixed-parameter tractable" peut alors être interprétée comme un "phénotype": en le comparant à celui d'un autre problème P', on peut déduire si les deux problèmes ont l'air équivalents, si l'un est une généralisation de l'autre, ou s'ils sont difficiles pour des raisons distinctes. Dans cette thèse, nous étudions la complexité paramétrée du problème d'ordonnancement de projet sous contrainte de ressources (RCPSP) et de ses sous-problèmes, possiblement augmentés de délais de précédence et de fenêtres temporelles pour les tâches. Pour les délais de précédence nous étudions le paramètre lmax - i.e. la valeur maximum de délai pouvant apparaître dans l'entrée - dans le cas de délais minimum, exact et maximum. Pour ces trois types de délais nous montrons que, même à petit lmax, ordonnancer des tâches de durée unitaire sur une unique reste difficile, et ce même pour des durées de délai toutes identiques. Cela suggère de limiter une propriété supplémentaire dans le cas de problèmes avec délais de précédence. A ce titre, nous proposons l'ajout de fenêtres temporelles pour les tâches afin d'élargir le panel de paramètres disponibles. Cela nous permet de considérer deux paramètres ayant récemment rencontré du succès dans la littérature : d'une part la marge - i.e. la différence maximum entre la taille de fenêtre d'une tâche et la durée de celle-ci -, d'autre part la largeur de chemin - i.e. le nombre maximum de fenêtres pouvant se chevaucher le long d'une même unité de temps. Nous introduisons également un nouveau paramètre, que nous appelons le niveau propre, et qui indique le nombre maximum de fenêtres pouvant inclure strictement une même autre fenêtre le long de ses deux bornes. Vis-à-vis de ces paramètres nous proposons plusieurs algorithmes "fixed-parameter tractable", et les complétons avec des preuves de difficulté paramétrée. Nous considérons également d'autres suggestions de paramètres pour proposer une vue d'ensemble plus complète de la complexité paramétrée du RCPSP et de ses sous-problèmes.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04910718 , version 1 (24-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04910718 , version 1

Citer

Maher Mallem. Parameterized complexity and new efficient enumerative schemes for RCPSP. Operations Research [math.OC]. Sorbonne Université, 2024. English. ⟨NNT : 2024SORUS397⟩. ⟨tel-04910718⟩
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